Diagrammes De Temperley-lieb Colorés Et Groupes Quantiques

On rencontre les diagrammes de Temperley-Lieb dans des contextes variés. 1. Topologie du plan : par définition. 2. Abstraction : on peut définir avec générateurs et relations des structures du genre algèbres, catégories etc. et puis montrer que ce sont les mêmes que celles obtenues sur les diagrammes de Temperley-Lieb en faisant des opérations topologiques. 3. Algèbre : les axiomes des algèbres disent que l’unité U et la multiplication M d’une algèbre doivent vérifier des conditions similaires à celles satisfaites par u et m dans un sens topologique. 4. Représentations : si π est une représentation alors les projections E et F sur les copies de la représentation triviale dans π ⊗ π̂ et dans π̂ ⊗ π vérifient des formules similaires à celles vérifiées par e et f dans un sens topologique. 5. Sous-facteurs : si N ⊂ M est une inclusion de facteurs de type II1 alors les projections orthogonales E : M → N et F :< M,E >→ M vérifient des relations similaires à celles vérifiées par e et f dans un sens topologique. 6, 7,... Autres : voir par exemple le livre de Jones [10]. On va construire des groupes quantiques dont la combinatoire des représentations est decrite par les diagrammes de Temperley-Lieb colorés de Bisch et Jones ([8]). Le résultat généralise celui de [4] et répond à une question posée dans [6]. Il vient ainsi se rajouter à deux séries de travaux récents : 〈〈groupes quantiques compacts et leurs représentations 〉〉 et 〈〈relations entre groupes quantiques et sous-facteurs 〉〉. A cette occasion, on doit revoir trois autres constructions reliant diagrammes de Temperley-Lieb, algèbre abstraite, algèbre concrète et groupes quantiques. Dans les sections 1, 2, 3 et 4-5-6 on présente les quatre constructions, qui sont de plus en plus élaborées. La septième section est sur les sous-facteurs. (Pour le spécialiste : tout ce qu’on fait est dans le cas 〈〈autodual 〉〉 ; on utilise un langage du type 〈〈catégories avec peu d’objets 〉〉.) Ce travail a été fait à Berkeley, le résultat a été annoncé à South Lake Tahoe et l’article a été ecrit à Jussieu. Je tiens a remercier Vaughan Jones.